Question

已知棱長為1的正方體AC₁，E、F分別是B₁C₁、C₁D的中點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A₁到平面的BDEF的距離；
（2）求直線A₁D與平面BDEF所成的角．

Answer 1

（1）點(diǎn)到平面的BDEF的距離；（2）直線A₁D與平面BDEF所成的角為．

試題分析：（1）建立空間坐標(biāo)系，分別寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)在平面BDEF上的射影為H，連結(jié)A1D，知A₁D是平面BDEF的斜線段；求出的長即為點(diǎn)到平面的BDEF的距離；
（2）由（1）可知，△為等腰直角三角形，即直線A₁D與平面BDEF所成的角．
（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系D—xyz,

則知B（1，1，0），
設(shè)是平面的法向量，

得則
令．
設(shè)點(diǎn)在平面BDEF上的射影為H，連結(jié)A₁D，知A₁D是平面BDEF的斜線段．


即點(diǎn)到平面BDEF的距離為1．
（2）由（1）知，=1，又A₁D=，則△為等腰直角三角形，