Question

如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，,，
平面平面,若，，,，且．

（1）求證：平面； 
（2）設平面與平面所成二面角的大小為，求的值．

Answer 1

（1）參考解析；（2）

試題分析：（1）由，所以.又,.在三角形PAO中由余弦定理可得.所以.即.又平面平面且平面平面=AD，平面PAD.所以平面.
（2）由題意可得建立空間坐標系，寫出相應點的坐標，平面PAD的法向量易得，用待定系數寫出平面PBC的法向量，根據兩向量的法向量夾角的余弦值，求出二面角的余弦值.
（1）因為 ，，所以，            1分
在中，由余弦定理，
得，                   3分
，，                      4分
，                                     5分
又平面平面，平面平面,平面，
平面．                          6分

（2）如圖，過作交于，則，，兩兩垂直，以為坐標原點，分別以，，所在直線為軸，建立空間直角坐標系，                      7分
則，，
          8分
，
，        9分
設平面的一個法向量為，
由得即
取則，
所以為平面的一個法向
量．               11分
平面,為平面的
一個法向量．
所以  ，             12分
 ．                      13分