Question

如圖，在正方體AC₁中，過點A作平面A₁BD的垂線，垂足為點H，則以下命題中，錯誤的命題是（ ）
A．點H是△A₁BD的垂心
B．AH的延長線經過點C₁
C．AH垂直平面CB₁D₁
D．直線AH和BB₁所成角為45°

Answer 1

【答案】分析：因為三棱錐A-A₁BD是正三棱錐，所以H是正三角形-A₁BD的中心，故A正確；根據正三棱錐A-A₁BD和正三棱錐C₁-A₁BD的高線都經過H點，結合垂線的唯一性可得B正確；根據平面A₁BD∥平面CB₁D₁，結合面面平行的性質，得到C正確；通過計算可得直線AH和BB₁所成角為arcsin，故D不正確．
解答：解：對于A，因為三棱錐A-A₁BD是正三棱錐，故頂點A在底面的射影是底面正三角形的中心，所以點H是也是△A₁BD的垂心，故A正確；
對于B，因為三棱錐C₁-A₁BD是正三棱錐，而H是底面的中心，故C₁H是正三棱錐C₁-A₁BD的高線，因為經過點H與平面A₁BD垂直的直線有且只有一條，故A、H、C₁三點共線，即AH的延長線經過點C₁，故B正確；
對于C，因為平面A₁BD∥平面CB₁D₁，而AH垂直平面A₁BD，所以根據面面平行的性質，可得AH垂直平面CB₁D₁，故C正確；
對于D，可在正三棱錐A-A₁BD中，算出sin∠A₁AH=，結合AA₁∥BB₁，可得直線AH和BB₁所成角為arcsin，故D不正確．
故選D
點評：本題給出正方體模型，要我們判斷幾個命題的真假，著重考查了空間的平行與垂直的位置關系和正三棱錐的性質等知識點，屬于基礎題．