Question

如圖，在正方體AC₁中，過點A作平面A₁BD的垂線，垂足為點H，則以下命題中，錯誤的命題是（　　）

• A．點H是△A₁BD的垂心
• B．AH的延長線經過點C₁
• C．AH垂直平面CB₁D₁
• D．直線AH和BB₁夾角的正弦值為

  2

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Answer 1

分析：對于A，由于三棱錐A-A₁BD為底面A₁BD為正三角形的正棱錐，故H是△A₁BD的垂心；
對于B，由正方體的性質可知，AC₁⊥平面A₁BD；
對于C，由于平面CB₁D₁∥平面A₁BD，由AH⊥平面A₁BD，可知C正確；
對于D，直線AH和BB₁夾角就是直線AH和AA₁夾角，計算即可判斷其正誤．

解答：解：依題意知，三棱錐A-A₁BD為底面A₁BD為正三角形的正棱錐，
∴H是△A₁BD的中心，也是△A₁BD的垂心，故A正確；
對于B，由于三棱錐C₁-A₁BD為底面A₁BD為正三角形的正棱錐，
∴C₁H⊥平面A₁BD；
∴AH∥C₁H，
又AH∩C₁H=H，
∴A、H、C₁三點共線，故B正確；
對于C，∵CD₁∥BA₁，B₁D₁∥BD，B₁D₁∩CD₁=D₁，BA₁∩BD=B，
∴平面CB₁D₁∥平面A₁BD，
又AH⊥平面A₁BD，
∴AH⊥平面CB₁D₁，故C正確；
對于D，∵BB₁∥AA₁，
∴直線AH和BB₁夾角就是直線AH和AA₁夾角，設為θ，
設正方體的邊長為a，在RT△AHA₁中，AA₁=a，A₁H=

2

a×

3

2

×

2

3

=

6

3

a，
∴sinθ=

A1H

AA1

=

6

3

≠

2

2

，故D錯誤；
故選D．

點評：本題考查空間幾何體線面垂直、面面平行、線面角，考查分析推理與運算能力，屬于中檔題．