Question

已知二次函數f（x）=x²-16x+q+3：
（1）若函數在區間[-1，1]上存在零點，求實數q的取值范圍；
（2）若不等式f（x）+51≥0對任意x∈[q，10]均成立，求實數q的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用二次函數的性質和函數零點的判斷方法即可求出；
（2）通過討論q與頂點的橫坐標8的大小關系，再利用二次函數的單調性即可求出．

解答：解：（1）∵二次函f（x）=x²-16x+q+3的對稱軸是x=8，
∴函數f（x）在區間[-1，1]上單調遞減．
∴要函數f（x）在區間[-1，1]上存在零點須滿足f（-1）f（1）≤0，
即 （1+16+q+3）（1-16+q+3）≤0，化為（q+20）（q-12）≤0．
解得-20≤q≤12．
∴實數q的取值范圍是[-20，12]．
（2）記g（x）=f（x）+51=x²-16x+q+54，
①當q＜8時，g（x）_min=g（8），
∴g（8）≥0，即64-128+q+54≥0，解得q≥10．
又∵q＜8，∴無解．
②當q≥8時，g（x）_min=g（q），
∴g（q）≥0，即q²-16q+q+54≥0，解得q≥9或q≤6．
又∵q≥8，∴q≥9，又由題意可知q＜10．
綜上可得：9≤q＜10．

點評：熟練掌握二次函數的單調性和分類討論的思想方法及函數零點的判斷方法是解題的關鍵．