Question

圓x²+y²=8內有一點P（1，2），AB和CD為過點P的弦．
（1）當弦AB被點P平分時，求直線AB的方程；
（2）若AB⊥CD，求四邊形ABCD面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，OP⊥AB，結合直線垂直的條件可求K_AB，即可求解；
（2）設∠OPC=θ，求出點O到直線AB、CD的距離，即可求出|AB|，|CD|，表示出四邊形ABCD的面積，利用三角函數，即可求得結論．

解答：解：（1）若弦AB被P平分，則OP⊥AB
∵K_AP=2，∴K_AB=-

1

2

∴直線AB方程為y-2=-

1

2

（x-1），即x+2y+5=0
（3）設∠OPC=θ，則點O到直線AB的距離d₁=|OP|sinθ=

5

sinθ
∴|AB|=2

r2-d12

=2

8-5sin2θ

同理O到CD的距離d₂=|OP|cosθ=

5

cosθ
∴|CD|=2

r2-d22

=2

8-5cos2θ

∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AB||CD|=2

8-5sin2θ

×

8-5cos2θ

=2

24+25sin2θcos2θ

=2

24+ 25 4 sin22θ

∴S_max=11，S_min=4

6

點評：本題主要考查了直線位置關系的應用，直線與圓相交關系的應用，考查三角函數在求解最值中的應用，屬于中檔題．