Question

設函數f(x)=2x+

a

2x

-1（a為實數）．
（Ⅰ）當a=0時，求方程|f(x)|=

1

2

的根；
（Ⅱ）當a=-1時，
（�。┤魧τ谌我鈚∈（1，4]，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，求k的范圍；
（ⅱ）設函數g（x）=2x+b，若對任意的x₁∈[0，1]，總存在著x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，f（x）=2^x-1，代入方程即可求解；
（2）當a=-1時，依據函數單調性，不等式f（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，可化為t²-2t＞2t²-k恒成立，從而轉化為k＞（t²+2t）_max；
（3）該問題可轉化為當x∈[0，1]時，f（x）的值域為g（x）值域的子集，利用單調性易求兩函數值域，由集合包含關系可得到不等式組，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=2^x-1，
由題意得|2x-1|=

1

2

，
所以2x-1=

1

2

或2x-1=-

1

2

，
解得x=log2

3

2

或x=-1．
（Ⅱ）當a=-1時，f(x)=2x-

1

2x

-1，該函數在R上單調遞增．
（�。┎坏仁絝（t²-2t）-f（2t²-k）＞0恒成立，即f（t²-2t）＞f（2t²-k）恒成立，即t²-2t＞2t²-k，
從而k＞（t²+2t）_max，
又當t∈（1，4]時，（t²+2t）_max=4²+2×4=24，所以k＞24．
（ⅱ）當x∈[0，1]時，g（x）=2x+b的值域為[b，2+b]，
當x∈[0，1]時，f(x)=2x-

1

2x

-1的值域為[-1，

1

2

]，
根據題意可得[b，2+b]?[-1，

1

2

]，
從而

b+2≥ 1 2 b≤-1

解得-

3

2

≤b≤-1．
故實數b的取值范圍為：-

3

2

≤b≤-1．

點評：本題考查指數方程的求解、函數恒成立及函數零點問題，考查學生分析問題解決問題的能力，綜合性強，難度大．