【題目】已知
， 
.
（1）若曲線
在點
處的切線的斜率為5，求
的值；
（2）若函數
的最小值為
，求
的值；
（3）當
時， 
恒成立，求實數
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】試題分析：（1）本問考查導數幾何意義，求導公式和導數四則運算，由題對
求導得， 
，則
，于是
；（2）本問考查利用導數研究函數的最值， 
，當
，則
，分別討論當
， 
時，函數的單調性，從而求出最小值，令最小值等于
，求出
的值；（3）本問考查恒成立問題的解法，首先將不等式
等價轉化為
，即
，所以問題轉化為求函數
的最小值，利用已經得到的單調性可以求出最小值，進而求出
的范圍.
試題解析：（1）
， 
， 
.
（2）函數
的定義域為
，
，
令
，則
，
①當
，即
時，在
上， 
，函數
單調遞增，無最小值.
②當
，即
時，在
上， 
，函數
單調遞減；在
上， 
，函數
單調遞增，所以函數
的最小值為
，解得
.
綜上，若函數
的最小值為
，則
.
（3）由
得，
，即
，
令
，則
，
由（1）可知，當
時， 
在
上單調遞減，在
上， 
單調遞增，所以在
上， 
，所以
，即
.
奪冠金卷全能練考系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，以原點
為圓心，橢圓
的長半軸長為半徑的圓與直線
相切．
（Ⅰ）求橢圓
的標準方程；
（Ⅱ）已知點
，
為動直線
與橢圓
的兩個交點，問：在
軸上是否存在定點
，使得
為定值？若存在，試求出點
的坐標和定值；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知矩形
的對角線交于點
，邊
所在直線的方程為
，點
在邊
所在的直線上.
（1）求矩形
的外接圓的方程；
（2）已知直線
（
），求證：直線
與矩形
的外接圓恒相交，并求出相交的弦長最短時的直線
的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義在
上的函數
滿足：
對任意
、
恒成立，當
時，
.
（1）求證
在
上是單調遞增函數；
（2）已知
，解關于
的不等式
；
（3）若
，且不等式
對任意
恒成立.求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐PABCD中，側面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，PA＝PB，O為AB的中點，OD⊥PC.
(1)求證：OC⊥PD；
(2)若PD與平面PAB所成的角為30°，求二面角DPCB的余弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】吉安一中舉行了一次“環保知識競賽”活動，為了解本了次競賽學生成績情況，從中抽取了部分學生的分數（得分取正整數，滿分為
分）作為樣本（樣本容量為
)進行統計. 按照 
的分組作出頻率分布直方圖，并作出樣本分數的莖葉圖（圖中僅列出了得分在
的數據）.
（1）求樣本容量和頻率分布直方圖中的
的值；
（2）在選取的樣本中，從競賽學生成績是
分以上（含分）的同學中隨機抽取
名同學到市政廣場參加環保知識宣傳的志愿者活動，設
表示所抽取的名同學中得分在
的學生人數，求的分布列及數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
已知在直角坐標系中，曲線
的參數方程為
（
為參數），現以原點為極點， 
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線
的極坐標方程為
．
（1）求曲線
的普通方程和直線
的直角坐標方程；
（2）在曲線
上是否存在一點
，使點
到直線
的距離最��？若存在，求出距離的最小值及點
的直角坐標；若不存在，請說明理由.
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