Question

【題目】已知矩形的對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，邊所在直線(xiàn)的方程為，點(diǎn)在邊所在的直線(xiàn)上.

（1）求矩形的外接圓的方程；

（2）已知直線(xiàn)（），求證：直線(xiàn)與矩形的外接圓恒相交，并求出相交的弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】解：（1）由且，點(diǎn)在邊所在的直線(xiàn)上

所在直線(xiàn)的方程是： 即由得

矩形ABCD的外接圓的方程是：

（2）直線(xiàn)的方程可化為：

可看作是過(guò)直線(xiàn)和的交點(diǎn)的直線(xiàn)系,即恒過(guò)定點(diǎn)由知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，

設(shè)與圓的交點(diǎn)為， 為到的距離）

設(shè)與的夾角為，則當(dāng)時(shí)， 最大， 最短此時(shí)的斜率為的斜率的負(fù)倒數(shù)： ， 的方程為

即：

【解析】試題分析：由且點(diǎn)在邊所在的直線(xiàn)上得直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)方程得交點(diǎn)的坐標(biāo)，則題意可知矩形外接圓圓心為，半徑，可得外接圓方程；（２）由可知恒過(guò)點(diǎn)，求得，可證與圓相交，求得與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)，經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)弦長(zhǎng)最短，可得，進(jìn)而得，最后可得直線(xiàn)方程．

試題解析：（1）∵且，∴，點(diǎn)在邊所在的直線(xiàn)上，

∴所在直線(xiàn)的方程是，即．

由得．

∴，∴矩形的外接圓的方程是．

（2）證明：直線(xiàn)的方程可化為，

可看作是過(guò)直線(xiàn)和的交點(diǎn)的直線(xiàn)系，即恒過(guò)定點(diǎn)，

由知點(diǎn)在圓內(nèi)，所以與圓恒相交，

設(shè)與圓的交點(diǎn)為（為到的距離），

設(shè)與的夾角為，則，當(dāng)時(shí)， 最大， 最短．

此時(shí)的斜率為的斜率的負(fù)倒數(shù)，即，故的方程為，即．