Question

已知函數f（x）=x³+x（x≥0），對于曲線y=f（x）上橫坐標成公差為1的等差數列的三個點A，B，C，給出以下判斷：其中所有正確的序號是

 

．
①△ABC一定是鈍角三角形；
②△ABC可能是直角三角形；
③△ABC可能是等腰三角形；
④△ABC不可能是等腰三角形．

Answer 1

考點：等差數列的性質

專題：函數的性質及應用

分析：由函數f（x）=x³+x（x≥0），對于曲線y=f（x）上橫坐標成公差為1的等差數列的三個點A，B，C，由函數的定義域及函數的單調性進行判斷，即可得到選項．

解答： 解：∵f（x）=x³+x（x≥0），
∴f′（x）=3x²+1≥1＞0，
∴函數f（x）=x³+x（x≥0）為增函數，
由于此函數是一個單調遞增的函數，故由A到B的變化率要小于由由B到C的變化率，可得出∠ABC一定是鈍角，故①對，②錯；
由A到B的變化率要小于由由B到C的變化率，由兩點間距離公式可以得出|AB|＜|BC|，
故三角形不可能是等腰三角形，故③錯，④對；
故答案為：①④．

點評：此題考查了數列與函數的綜合，著重考查函數的性質：平均變化率的理解與應用，考查等差數列的性質，屬于中檔題．