Question

（2006•東城區三模）某廠有一臺價值為1萬元的生產設備，現要通過技術改造來提高該生產設備的生產能力，提高產品的增加值，經過市場調查，產品的增加值y萬元與技術改造投入金額x萬元之間滿足：①y與（1-x）和x²的乘積成正比；②當x=

1

2

時，y=

1

2

．并且技術改造投入的金額滿足；

x

2(1-x)

∈（0，t]，其中t為常數．
（1）求y=f（x）的解析式及定義域；
（2）當t∈（0，2]時，求產品的增加值的最大值及相應的技術改造投入的金額．

Answer 1

分析：（1）根據條件①設出函數解析式，然后根據條件②可求出解析式，根據

x

2(1-x)

∈（0，t]求出x的取值集合即為函數的值域；
（2）欲求函數的最值，就需研究函數的單調性，故先利用導數求出函數的極值，然后討論t的范圍，求出函數的最值即可．

解答：（本小題滿分14分）
解：（1）由已知，設y=f（x）=k（1-x）x²．
∵當x=

1

2

時，y=

1

2

，即

1

2

=k×

1

2

×

1

4

，∴k=4．
則f（x）=4（1-x）x²=-4x³+4x²．…（4分）
∵0＜

x

2(1-x)

≤t，解得0＜x≤

2t

2t+1

．
∴f（x）的定義域為{x|0＜x≤

2t

2t+1

}…（6分）
（2）∵f（x）=-4x³+4x²．x∈{x|0＜x≤

2t

2t+1

}…（…（8分）
令f′(x)=0，則x=0(舍去)，x=

2

3

∵0＜x≤

2t

2t+1

＜1，
當0＜x＜

2

3

時，f'（x）＞0，∴f(x)在(0，

2

3

)上單調遞增；
當

2

3

＜x＜1時，f'（x）＜0，∴f(x)在(

2

3

，1)上單調遞減．…（10分）
∴當x=

2

3

時，f（x）取得極大值．
∵t∈（0，2]．
∴當

2t

2t+1

≥

2

3

，即1≤t≤2時，ymax=f(

2

3

)=

16

27

．
∴當

2t

2t+1

＜

2

3

，即0＜t＜1時，ymax=f(

2t

2t+1

)=

16t2

(2t+1)3

．
綜上，當1≤t≤2時，投入

2

3

萬元，最大增加值是

16

27

萬元．當0＜t＜1時，投入

2t

2t+1

萬元，最大增加值是

16t2

(2t+1)3

萬元．…（14分）

點評：本題主要考查了函數解析式的求解，以及利用導數研究函數的最值，同時考查了分離討論的數學思想，屬于中檔題．