Question

已知函數g（x）=

x

lnx

，f（x）=g（x）-ax．
（Ⅰ）求函數g（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間（1，+∞）上是減函數，求實數a的最小值；
（Ⅲ）若函數h（x）=g（x）-bx²恰有兩個零點，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,函數的零點

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求導g′（x）=

lnx-1

ln2x

，從而寫出g（x）的單調區間；
（Ⅱ）f（x）=

x

lnx

-ax，則原問題可化為f′（x）=

lnx-1

ln2x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，即a≥

lnx-1

ln2x

在（1，+∞）上恒成立，從而轉化為最值問題；
（Ⅲ）由函數h（x）=g（x）-bx²恰有兩個零點可得b=

1

xlnx

有兩個不同的實數根，即

1

b

=xlnx有兩個不同的實數根，從而化為求k（x）=xlnx的值域．

解答： 解：（Ⅰ）g′（x）=

lnx-1

ln2x

，
故g（x）的單調減區間是（0，e）；
單調增區間是[e，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=

x

lnx

-ax，
則f′（x）=

lnx-1

ln2x

-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
即a≥

lnx-1

ln2x

在（1，+∞）上恒成立，
∵

lnx-1

ln2x

=-（

1

lnx

-

1

2

）²+

1

4

≤

1

4

，
∴a≥

1

4

，
故實數a的最小值為

1

4

；
（Ⅲ）∵函數h（x）=g（x）-bx²恰有兩個零點，
∴b=

1

xlnx

有兩個不同的實數根，
故

1

b

=xlnx有兩個不同的實數根，
設k（x）=xlnx，
則k′（x）=lnx+1，
則k（x）在（0，+∞）上有最小值，
即k_min（x）=k（

1

e

）=-

1

e

；
當x₊→0時，k（x）→0，
當x→+∞時，k（x）→+∞，
故b＜-e．

點評：本題考查了導數的綜合應用及恒成立問題，恒成立問題用到了分離常數法，屬于難題．