Question

（2013•嘉興二模）設{a_n}是有窮數列，且項數n≥2．定義一個變換η：將數列a₁，a₂，…，a_n，變成a₃，a₄，…，a_n+1，其中a_n+1=a₁•a₂是變換所產生的一項．從數列1，2，3，…，2²⁰¹³開始，反復實施變換η，直到只剩下一項而不能變換為止．則變換所產生的所有項的乘積為（　　）

A．（2²⁰¹³!）²⁰¹³

B．（2²⁰¹³!）²⁰¹²

C．（2013!）²⁰¹²

D．（2²⁰¹³!）!

Answer 1

分析：利用η變換的意義，從數列1，2，3，…，2²⁰¹³開始，反復實施變換η2²⁰¹²次得到：1×2，3×4，…，（2²⁰¹³-1）•2²⁰¹³；…依此類推，反復實施變換η2^2013-2012次得到：1×2×3×…×2²⁰¹²，（2²⁰¹²+1）•（2²⁰¹²+2）•…•（2²⁰¹²+2²⁰¹²），再經過一次η變換即可得到1×2×3×…×2²⁰¹³，因為經過每一次η變換得到所有項的乘積都為2²⁰¹³！，共需要經過1+2+…+2²⁰¹²+1=

22013-1

2-1

+1=2²⁰¹³次η變換，即可得到答案．

解答：解：從數列1，2，3，…，2²⁰¹³開始，反復實施變換η2²⁰¹²次得到：1×2，3×4，…，（2²⁰¹³-1）•2²⁰¹³；
對上述數列反復實施變換η2²⁰¹¹次得到1×2×3×4，5×6×7×8，…，（2²⁰¹³-3）（2²⁰¹³-2）（2²⁰¹³-1）•2²⁰¹³；
…
依此類推，反復實施變換η2^2013-2012次得到：1×2×3×…×2²⁰¹²，（2²⁰¹²+1）•（2²⁰¹²+2）•…•（2²⁰¹²+2²⁰¹²），
再經過一次η變換即可得到1×2×3×…×2²⁰¹³，
因為經過每一次η變換得到所有項的乘積都為2²⁰¹³！，共需要經過1+2+…+2²⁰¹²+1=

22013-1

2-1

+1=2²⁰¹³次η變換．
則變換所產生的所有項的乘積為（2²⁰¹³！）²⁰¹³．
故選A．

點評：正確理解η變換、變換的次數、經過每一次η變換得到所有項的乘積是解題的關鍵．