Question

已知橢圓的離心率，短軸長為2．
（1）求橢圓方程；
（2）若橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，經(jīng)過點且斜率k的直線l與橢圓交于不同的兩點P、Q．是否存在常數(shù)k，使得向量共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由已知得?
故橢圓方程是=1（4分）
（2）由已知條件，直線l：y=kx+，代入橢圓方程得=1．
整理得kx+1=0①
由已知得-2＞0，解得k＜-或k＞．（6分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，
由方程①，x₁+x₂=-． ②
又y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2． ③
而，B（0，1），，
所以共線等價于x₁+x₂=-，
將②③代入上式，解得k=，（10分）
又k＜-或k＞，
故沒有符合題意的常數(shù)k．（12分）
分析：（1）利用條件2b=2，=，求出a，b，c即可求出橢圓方程；
（2）先把直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去y，對應(yīng)判別式大于0，找到一個關(guān)于k的不等式．再求出向量OP，OQ，AB的坐標(biāo)，利用向量共線求出k的值，看是否滿足判別式大于0即可下結(jié)論．
點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的位置關(guān)系以及向量共線問題．在研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時，通常是把直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去其中一個變量，得到一個關(guān)于直線與圓錐曲線交點坐標(biāo)的方程，再利用題中條件求解．