Question

    如下圖，已知三棱柱A₁B₁C₁—ABC的底面是邊長為2的正三角形，側棱A₁A與AB，AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.

    (1)求證：平面A₁EF⊥平面B₁BCC₁；

    (2)求點A₁到平面B₁BCC₁的距離；

    (3)當AA₁多長時，點A₁到平面ABC與平面B₁BCC₁的距離相等？

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)證明：已知A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F，     由B1B⊥平面A1EF，得平面A1EF⊥平面B1BCC1.     (2)解：易得△A1EF為等腰直角三角形，取EF的中點N，連A1N，則A1N⊥EF，     所以A1N⊥平面B1BCC1.     所以A1N為點A1到平面B1BCC1的距離.     又，所以點A1到平面B1BCC1的距離為1.     (3)解：設BC、B1C1的中點分別為D、D1，連AD，DD1和A1D1，則N∈DD1.     ∵DD1∥BB1∥AA1,     ∴A、A1、D、D1四點共面.∴AD∥A1D1.     ∴A1ADD1為平行四邊形.     ∵B1C1⊥A1D1，A1N⊥平面BCC1B1，     ∴B1C1⊥D1D，又B1C1⊥A1N.     ∴B1C1⊥平面ADD1A1.∴BC⊥平面ADD1A1.     ∴平面A1ADD1⊥平面ABC.     作A1M⊥面ABC于M，則點M在AD上，     若A1M=A1N，又∠A1AD=∠A1D1D，∠A1MA=∠A1ND1=90°,     則Rt△A1MA≌Rt△A1ND1，于是,     即當A1A=時，點A1到平面ABC和平面B1BCC1的距離相等.