Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，.

（1）求證：平面平面；

（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）設(shè)與交點(diǎn)為，連接，可知點(diǎn)為的中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，由菱形的性質(zhì)可得出，利用線面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；

（2）設(shè)，可求得，，利用勾股定理可求得，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸正方向，方向?yàn)?/span>軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量，利用空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.

（1）記與交點(diǎn)為，連接，

，為的中點(diǎn)，，

又四邊形為菱形，.

，平面，

又平面，所以，平面平面；

（2）設(shè)，，，

又，所以，所以，.

因?yàn)?/span>，所以在中，由勾股定理得，

即，解得，，

由（1）知，平面，平面，平面平面.

以為原點(diǎn)，方向?yàn)?/span>軸正方向，方向?yàn)?/span>軸正方向，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.則、、、，.，

，，.

設(shè)平面的法向量為，由，則，

令，解得，，即，

，

所以直線與平面所成角的正弦值為.