Question

某市2009年新建住房400萬平方米，其中有250萬平方米是中低價房．預計在今后的若干年內，該市每年新建住房面積平均比上一年增長5%．另外，每年新建住房中，中低價房的面積均比上一年增加50萬平方米．以2009年為第一年，那么，到哪一年底，
（Ⅰ）該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米？
（Ⅱ）所有建造的中低價房的面積占建造總住房面積的比例首次大于75%？
（附：可參考數據：1.05²=1.103，1.05³=1.158，1.05⁴=1.216，1.05⁵=1.276；1.05⁶=1.340）

Answer 1

分析：（Ⅰ）設中低價房面積形成數列{a_n}，由題意可知{a_n}是等差數列，求得首項和公差，利用等差數列的求和公式求得S_n，進而根據S_n≥4750，求得n的最小值．
（Ⅱ）設新建住房面積形成數列{b_n}，由題意可知{b_n}是等比數列，根據題意可求得數列的首項和公比，則數列的通項公式可得，求出其前n項和T_n進而T_n＞0.75S_n，求得n的最小正整數．

解答：解：（Ⅰ）設中低價房面積形成數列a_n，由題意可知a_n是等差數列，
其中a₁=250，d=50，則Sn=250n+

1

2

n(n-1)×50=25n2+225n，（2分）
令25n²+225n≥4750，即n²+9n-190≥0，而n是正整數，∴n≥10．（4分）
到2018年底，該市歷年所建中低價房的累計面積將首次不少于4750萬平方米．（5分）
（Ⅱ）第n年所建造的中低價房面積為a_n，新建住房面積為b_n，n內新建住房總面積為S_n，
中低價住房總面積為T_n，則a_n=50n+200，b_n=400×1.05^n-1，（6分）
所以S_n=400+400×1.05+400×1.05²+…+400×1.05^n-1=8000（1.05ⁿ-1）（7分）
T_n=250+300+350+…+50n+200=25n²+225n，（9分）
依題意：T_n＞0.75S_n，∴8000（1.05ⁿ-1）×0.75＜25n²+225n（10分）n
=1，2，3時，T_n＜0.75S_n，n=4時，T_n＞0.75S_n（12分）
到2012年底所有建造的中低價房的面積占建造總住房面積的比例首次大于75%（13分）

點評：本題主要考查了數列的應用．解題的關鍵是利用題設條件判斷出數列的類型，根據等差或等比數列的性質來解決．