Question

已知函數
（Ⅰ）當a=0時，求函數f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）當時，討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）若f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）當a=0時，求函數的導數，利用導數求函數f（x）在[1，3]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求導數利用導數討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）利用導數利用條件f（x）+3≥0恒成立，求a的取值范圍．
解答：解：（1）當a=0時，，若f'（x）≥0，則x＜2，若f'（x）＜0，則x＞2．
所以當x=2時，函數取得即極大值即最大值f（2）=，因為f（1）=0，f（3）=＞0，
所以最小組為0．
（2）求導，得，令f'（x）=0，則（ax+1）（2-x）=0，
當a≠0時，方程二根為和2．
因為，所以，
由f'（x）＜0得，x或x＜2，此時函數單調遞減，
由f'（x）＞0，得，此時函數單調遞增．
（3）由f（x）+3≥0得ax²≥1-x-3e^x，當x=0時，f（x）+3≥0恒成立．
當x≠0時，若f（x）+3≥0恒成立，即恒成立，令，只需求其最大值即可．
由，得x=2或x=-ln3．
當-ln3＜x＜0或0＜x＜2時，g'（x）＞0，當x＜-ln3或x＞2時，g'（x）＜0，
所以當x變化時，g（x），g'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，ln3）	-ln3	（-ln3，0）	0	（0，2）	2	（2，+∞）
g'（x）	+	0	-		+	0	-
g（x）	遞增	極大值	遞減		遞增	極大值	遞減

由上表可知，f（x）的極大值是f（-ln3）=和g（2）=，f（x）的最大值是f（-ln3）=，
所以要使f（x）+3≥0恒成立，則a≥．
點評：本題主要考查利用導數研究函數的單調性以及求函數的最值問題，考查學生的運算能力，綜合性較強，運算量較大．