Question

9．設S_n為數列{a_n}的前n項和，且滿足${S_n}={（{-1}）^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$，則a₂=$\frac{1}{4}$；S₁+S₃+S₅+…+S₂₀₁₇=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{2}^{2018}}-1）$．

Answer 1

分析 由${S_n}={（{-1}）^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$，當n=1時，可得a₁=-a₁-$\frac{1}{2}$，可得a₁=-$\frac{1}{4}$．當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，a₃=-a₃-$\frac{1}{8}$+a₂+$\frac{1}{4}$．若n為偶數，則a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，因此n為正奇數，a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，可得a₃=-$\frac{1}{16}$，a₂．n=2k-1（k∈N^*），S_n=S_2k-1=-a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$．可得S₁+S₃+S₅+…+S₂₀₁₇=-（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$，代入利用等比數列的求和公式即可得出．

解答 解：由${S_n}={（{-1}）^n}{a_n}-\frac{1}{2^n}$，當n=1時，可得a₁=-a₁-$\frac{1}{2}$，可得a₁=-$\frac{1}{4}$．
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（-1）ⁿa_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$-（-1）^n-1a_n-1+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，a₃=-a₃-$\frac{1}{8}$+a₂+$\frac{1}{4}$．
若n為偶數，則a_n-1=-$\frac{1}{{2}^{n}}$，因此n為正奇數，a_n=-$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，可得a₃=-$\frac{1}{16}$，a₂=$\frac{1}{4}$．
n=2k-1（k∈N^*），S_n=S_2k-1=-a_n-$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴S₁+S₃+S₅+…+S₂₀₁₇=-（a₁+a₃+…+a₂₀₁₇）-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=$（\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{1}{{2}^{2018}}）$-$（\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{2017}}）$
=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{1009}}）}{1-\frac{1}{4}}$-$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{4}^{1009}}）}{1-\frac{1}{4}}$
=$\frac{1}{3}（\frac{1}{{2}^{2018}}-1）$．
故答案為：$\frac{1}{4}，\frac{1}{3}（{\frac{1}{{{2^{2018}}}}-1}）$．

點評 本題考查了等比數列通項公式與求和公式、數列遞推關系，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于難題．