Question

設二項展開式Cn=(

3

+1)2n-1（n∈N^*）的小數部分為B_n．
（1）計算C₁B₁，C₂B₂的值；
（2）求證：CnBn=22n-1．

Answer 1

分析：（1）將n分別用1，2 代替求出C₁，C₂，利用多項式的乘法展開，求出C₁，C₂的小數部分B₁，B₂，求出C₁B₁，C₂B₂的值．
（2）利用二項式定理表示出C_n，再利用二項式定理表示出(

3

+1)2n-1，兩個式子相減得到展開式的整數部分和小數部分，求出C_nB_n的值，從而證得結論．

解答：解：（1）由于Cn=(

3

+1)2n-1，所以，C₁=

3

+1 B₁=

3

-1 A₁=2，所以C₁B₁=2．
又C₂=(

3

+1)3=10+6

3

，其整數部分A₂=20，小數部分B₂=6

3

-10，
所以C₂B₂=8．
（2）證明：由于Cn=(

3

+1)2n-1=

C

0 2n-1

•(

3

)2n-1+

C

1 2n-1

•(

3

)2n-2+

C

2 2n-1

•(

3

)2n-3，
+…+

C

2n-1 2n-1

 ①，
又(

3

-1)2n-1=

C

0 2n-1

•(

3

)2n-1-

C

1 2n-1

•(

3

)2n-2+

C

2 2n-1

•(

3

)2n-3-

C

3 2n-1

(

3

)2n-4
+…+

C

2n-1 2n-1

 ②，
①-②可得，
(

3

+1)2n-1-(

3

-1)2n-1=2（

C

1 2n-1

•(

3

)2n-2+

C

3 2n-1

(

3

)2n-4+…+

C

2n-1 2n-1

），

而0＜(

3

-1)2n-1＜1，∴A_n=(

3

+1)2n-1-(

3

-1)2n-1，B_n=(

3

-1)2n-1．
故 C_nB_n=(

3

+1)2n-1•(

3

-1)2n-1=2^2n-1．

點評：解決二項式的有關問題一般利用二項式定理；解決二項展開式的通項問題常利用的工具是二項展開式的通項公式，屬于中檔題．