Question

如圖，在平面直角坐標系中，CA⊥x軸于點A（1，0），DB⊥x軸于點B（3，0），直線CD與x軸、y軸分別交于點F、E，S_{四邊形ABCD}=4．
（1）若直線CD的解析式為y=kx+3，求k的值；
（2）在（1）條件下，試探索在x軸正半軸上存在幾個點P，使△EPF為等腰三角形，并求出這些點的坐標．

Answer 1

考點：直線的一般式方程

專題：直線與圓

分析：（1）由已知可得|AB|=2，由于S_{四邊形ABCD}=

1

2

（|AC|+|BD|）×2=4，可得|AC|+|BD|=4．設C（1，y₁），D（3，y₂），代入y=kx+3，即可得出k．
（2）由兩種情況：一種是線段EF的垂直平分線與x軸的正半軸的交點，另一種是|FP|=|FE|，點P在F點的右邊．

解答： 解：（1）∵A（1，0）B（3，0），
∴|AB|=2，
∵S_{四邊形ABCD}=

1

2

（|AC|+|BD|）×2=4，
∴|AC|+|BD|=4．
  設C（1，y₁），D（3，y₂），
∵y=kx+3，
∴y₁=k+3，y₂=3k+3，
∴y₁+y₂=4k+6=4，
解得k=-

1

2

．
（2）有2個．
①當點P在線段OF上時，在y=-

1

2

x+3中，令y=0得x=6
∴F（6，0），E（0，3）．
線段EF的中點(3，

3

2

)．
∴線段EF的垂直平分線的方程為：y-

3

2

=2(x-3)，
令y=0，解得x=

9

4

，
∴點P（

9

4

，0）．
②當點P在點F右邊時，
∵|FP|=|EF|=

32+62

=3

5

∴|OP|=|OF|+|FP|=6+3

5

，此時P（6+3

5

，0）．
綜上可得：P（

9

4

，0）或P（6+3

5

，0）．

點評：本題考查了直線的方程及其應用、梯形的面積計算公式、線段的垂直平分線、等腰三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．