Question

已知函數．
（I）判斷函數f（x）的單調性；
（Ⅱ）若y=xf（x）+的圖象總在直線y=a的上方，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）若函數f（x）與的圖象有公共點，且在公共點處的切線相同，求實數m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先對函數進行求導運算，根據導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減，可求得單調區間．
（2）將將函數f（x）的解析式代入，可將問題轉化為不等式對于x＞0恒成立，然后g（x）=lnx+后進行求導，根據導函數的正負情況判斷函數的單調性進而可得到函數g（x）的最小值，從而得到答案．
（3）將函數f（x）與的圖象有公共點轉化為有解，再由y=lnx與在公共點（x，y）處的切線相同可得到同時成立，進而可求出x的值，從而得到m的值．
解答：解：（Ⅰ）可得．
當0＜x＜e時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；當e＜x時，f′（x）＜0，f（x）為減函數．
（Ⅱ）依題意，轉化為不等式對于x＞0恒成立
令g（x）=lnx+，則g'（x）=
當x＞1時，因為g'（x）=＞0，g（x）是（1，+∞）上的增函數，
當x∈（0，1）時，g′（x）＜0，g（x）是（0，1）上的減函數，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
從而a的取值范圍是（-∞，1）．
（Ⅲ）轉化為，y=lnx與在公共點（x，y）處的切線相同
由題意知
∴解得：x=1，或x=-3（舍去），代入第一式，即有．
點評：本題主要考查函數的單調性與其導函數的正負之間的關系，即導函數大于0時原函數單調遞增，導函數小于0時原函數單調遞減．