Question

選修4-4坐標系與參數方程
已知直線l過定點與圓C：相交于A、B兩點．
求：（1）若|AB|=8，求直線l的方程；
（2）若點為弦AB的中點，求弦AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）分類討論直線l的斜率存在與不存在兩種情況，把圓C的方程化為普通方程，利用弦長|AB|=2（d為圓心到直線l的距離）即可求出；
（2）利用OP⊥AB的關系求出直線AB的斜率，進而求出方程．
解答：解：（1）①當直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，則，
由圓C：消去參數θ化為x²+y²=25，圓心C （0，0），半徑r=5．
∴圓心C （0，0）到直線l的距離d=，
∵|AB|=8，∴8=2，化為，
∴直線l的方程為，即3x+4y+15=0；
②當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-3，滿足|AB|=8，適合題意．
（2）∵k_OP==，AB⊥OP，∴k_AB=-2．
∴直線AB的方程為，化為4x+2y+15=0
聯立，解得．
∴弦AB的方程為4x+2y+15=0．
點評：熟練掌握分類討論的思想方法、弦長|AB|=2（d為圓心到直線l的距離）公式、互相垂直的直線之間的斜率關系是解題的關鍵．