Question

（選修4-4：坐標系與參數方程）
在平面直角坐標系xoy中，過橢圓

x2

12

+

y2

4

=1在第一象限內的一點P（x，y）分別作x軸、y軸的兩條垂線，垂足分別為M，N，求矩形PMON周長最大值時點P的坐標．

Answer 1

分析：根據橢圓的參數方程設點P（2

3

cosα，2sinα），得到矩形PMON周長C關于α的表達式，化簡得C=8sin（α+

π

3

），
結合正弦函數的性質，可得矩形PMON周長最大值及相應的點P坐標．

解答：解：根據題意，設

x=2 3 cosα y=2sinα

（α∈[0，2π]為參數），
∴矩形PMON周長為
C=2(2

3

cosα+2sinα)=8sin(α+

π

3

)
∵sin（α+

π

3

）的最大值為1，
∴當α=

π

6

時，矩形PMON周長取最大值8，
此時點P的坐標為（3，1）．

點評：本題給出橢圓上點P，求橢圓內接矩形PMON周長的最大值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質、三角恒等變換和三角函數的最值等知識，屬于基礎題．