Question

將半徑為R的四個球，兩兩相切地放在桌面上，求上面一個球的球心到桌面的距離．

Answer 1

分析：設四個球的球心分別為O₁、O₂、O₃、O₄，將它們兩兩連結恰好組成一個正三棱錐，且各棱長均為2R，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足為H，則O₁H為棱錐的高，由此可求上面一個球的球心到桌面的距離．

解答：解：設四個球的球心分別為O₁、O₂、O₃、O₄，將它們兩兩連結恰好組成一個正三棱錐，且各棱長均為2R，作O₁H⊥面O₂O₃O₄，垂足為H，則O₁H為棱錐的高．
連接O₄H，則O₄H=

2 3

3

R，
∵O₁H⊥面O₂O₃O₄，
∴O₁H⊥HO₄，即∠O₁HO₄=90°，∴O₁H=

2 6

3

R，
則從上面一個球的球心到桌面的距離為（

2 6

3

+1）R．

點評：本題考查點到面的距離的計算，考查學生分析解決問題的能力，考查學生轉化問題的能力，屬于中檔題．