Question

已知函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點，且f′（x）=2x-1，數(shù)列{a_n}的前n項和Sn=f(n)(n∈N*)．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）若數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₃n=log₃b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和．
（III）若正數(shù)數(shù)列{cn}滿足{cn}n+1=

(n+1)an+1

2n

(n∈N*)，求數(shù)列{lncn}中的最大值．

Answer 1

分析：（I）由f'（x）與f（x）的圖象過原點，可得f（x）解析式，即s_n的表達式，從而得a_n；
（Ⅱ）由a_n+log₃n=log₃b_n得b_n，用錯位相減法求前n項和T_n
（III）由題中條件得數(shù)列{lnc_n}的通項公式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求出最大值．

解答：解：（I）由f'（x）=2x-1得：f（x）=x²-x+b（b∈R），
∵y=f（x）的圖象過原點，∴f（x）=x²-x，
∴s_n=n²-n，∴當(dāng)n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=（n²-n）-[（n-1）²-（n-1）]=2n-2，
又∵a₁=S₁=0，滿足a_n，
所以，數(shù)列{an}的通項公式為an=2n-2(n∈N*)；
（II）由a_n+log₃n=log₃b_n得：b_n=n•3^2n-2（n∈N^*）
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…b_n=3⁰+2•3²+3•3⁴+…+n•3^2n-2…①
∴9Tn=32+2•34+3•36+…+n•32n…②
②-①得：8Tn=n•32n-(1+32+34+36+…+32n-2)=n•32n-

32n-1

8

∴Tn=

n•32n

8

-

32n-1

64

=

(8n-1)32n+1

64

（III）由(cn)n+1=

(n+1)an+1

2n

(n∈N*)知：lncn=

ln(n+1)

n+1

，
令f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1 x •x-lnx

x2

=

1-lnx

x2

；
∴在區(qū)間（0，e）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，在區(qū)間（e，+∞）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)，
∵2＜e＜3，∴n≥3（n∈N^*）時，{lnc_n}是遞減數(shù)列，n≤2（n∈N^*）時，{lnc_n}是遞增數(shù)列；
又lnc₂＞lnc₃，
所以，數(shù)列{lncn}中的最大項為lnc2=

ln3

3

．

點評：本題考查了數(shù)列與函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，也考查了一定的運算能力，是比較容易出錯的題目．