Question

（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題

滿分6分）

已知函數，如果存在給定的實數對（），使得恒成立，則稱為“S-函數”.

（1）判斷函數是否是“S-函數”；

（2）若是一個“S-函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；

（3）若定義域為的函數是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，當時，的值域為，求當時函數的值域.

Answer 1

（本題滿分18分，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題

滿分6分）

已知函數，如果存在給定的實數對（），使得恒成立，則稱為“S-函數”.

（1）判斷函數是否是“S-函數”；

（2）若是一個“S-函數”，求出所有滿足條件的有序實數對；

（3）若定義域為的函數是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，當時，的值域為，求當時函數的值域.

解：（1）若是“S-函數”，則存在常數使得(a+x)(a-x)=b.

即x²=a²-b時，對xÎR恒成立. 而x²=a²-b最多有兩個解，矛盾.

因此不是 “S-函數”.……………………………………………………3分

若是“S-函數”，則存在常數a,b使得，

即存在常數對（a, 3^2a）滿足.

因此是“S-函數”.……………………………………………………6分

（2）是一個“S-函數”，設有序實數對（a,b）滿足.

則tan(a-x)tan(a+x)=b恒成立.

當a=時，tan(a-x)tan(a+x)= -cot²(x)不是常數.……………………7分

因此，時，

則有.

即恒成立.…………………………………9分

即.

當,時，tan(a-x)tan(a+x)=cot²(a)=1,

因此滿足是一個“S-函數”的常數（a, b）=.…12分

(3) 函數是“S-函數”，且存在滿足條件的有序實數對和，

于是

即,

……………………………………15分

.……………17分

因此為以2為周期的周期函數.

當時，函數的值域為. ……………………………18分