Question

【題目】如圖，某污水處理廠要在個矩形ABCD的池底水平鋪設污水凈化管道（，E是直角頂點）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好，設計要求管道的接口E是AB的中點，F、G分別落在AD、BC上，且，，設.

（1）試將污水管道的長度l表示成的函數，并寫出定義域；

（2）當為何值時，污水凈化效果最好，并求此時管道的長度.

Answer 1

【答案】（1），定義域.（2）或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為

【解析】

（1）根據題意分別表示出，，即可得解；

（2）結合（1）化簡可得，，利用換元法，令，根據函數性質即可求解.

（1）由題意，，則，∵E是的中點，，

∴，，∴，則，定義域.

（2）由（1）可知，，

化簡可得，

令.

∵，∴，

可得，則，

可得：，且，那么.

當時，取得最大值為，

此時，即或，∴或，

故或時，污水凈化效果最好，此時管道的長度為.