Question

函數f（x）的定義域D={x|x≠0}，且滿足對于任意x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）與f（-1）的值；
（2）判斷函數的奇偶性并證明；
（3）若x＞1時，f（x）＞0，求證f（x）在區間（0，+∞）上是增函數；
（4）在（3）的條件下，若f（4）=1，求不等式f（3x+1）≤2的解集．

Answer 1

解：（1）令x₁=x₂=1，有f（1×1）=f（1）+f（1），解得f（1）=0．
令x₁=x₂=-1，有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）=f（1）=0，解得f（-1）=0．
（2）令x₁=-1，x₂=x，有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），定義域關于原點對稱可得f（x）是偶函數．
（3）設x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，則，，
則，
∴f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．
（4）f（16）=f（4×4）=f（4）+f（4）=2，
由f（3x+1）≤2變形為f（3x+1）≤f（16）．
∵f（x）為偶函數，∴f（-x）=f（x）=f（|x|），在（3）的條件下有f[|3x+1|]≤f（16）
∴|3x+1|≤16且3x+1≠0，解得x∈．
分析：（1）利用該抽象函數滿足的函數值關系的性質，賦兩個自變量相應的值，可以求解出f（1）與f（-1）的值；
（2）根據函數的奇偶性的定義結合已知條件得出f（-x）與f（x）的關系是解決本題的關鍵，注意對自變量賦合適的函數值；
（3）根據單調性的定義，任取定義區間的兩個自變量，比較其函數值得出f（x）在區間（0，+∞）上的遞增性質；
（4）利用（3）中函數的單調性，將函數值的關系轉化為相應自變量的關系列出關于x的不等式是解決本題的關鍵．
點評：本題考查抽象函數問題的解決方法，考查賦值法求給定自變量處函數值，賦值法確定函數奇偶性、單調性的方法，充分發揮定義的引領作用．考查函數單調性在轉化求解自變量時的應用作用．