Question

已知函數，當x＞0時，恒有
（1）求f（x）的表達式；
（2）設不等式f（x）≤lgt的解集為A，且A⊆（0，4]，求實數t的取值范圍．
（3）若方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，求實數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵當x＞0時，恒成立
∴，
即（a-b）x²-（a-b）x=0恒成立，
∴a=b（2分）
又f（1）=0，即a+b=2，從而a=b=1，
∴（4分）
（2）由不等式f（x）≤lgt，
即且（6分）
由于解集A⊆（0，4]，故0＜t＜2，（7分）
所以即，（8分）
又因為0＜t＜2，所以實數t的取值范圍是（10分）
（3）由（12分）
方程的解集為∅，故有兩種情況：
①方程8x²+（6+m）x+m=0無解，即△＜0，得2＜m＜18（14分）
②方程8x²+（6+m）x+m=0有解，兩根均在[-1，0]內，g（x）=8x²+（6+m）x+m
則（17分）
綜合①②得實數m的取值范圍是0≤m＜18（18分）
分析：（1）由已知中函數，當x＞0時，恒有，我們可以構造一個關于a，b方程組，解方程組求出a，b值，進而得到f（x）的表達式；
（2）由（1）中函數f（x）的表達式，利用對數函數的單調性，我們可將不等式f（x）≤lgt，轉化為一個分式不等式，由等式f（x）≤lgt的解集為A，且A⊆（0，4]，可以構造出關于關于t的不等式，解不等式即可求出滿足條件的實數t的取值范圍．
（3）根據對數的運算性質，可將方程f（x）=lg（8x+m），轉化為一個關于x的分式方程組，進而根據方程f（x）=lg（8x+m）的解集為∅，則方程組至少一個方程無解，或兩個方程的解集的交集為空集，分類討論后，即可得到答案．
點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質，及對數函數單調性的綜合應用，其中（1）的關鍵是根據已知構造一個關于a，b方程組，（2）的關鍵是根據對數函數的單調性，將已知中的不等式轉化為一個分式不等式，（3）的關鍵是利用對數的性質，將已知的方程轉化為一個x的分式方程組．