Question

已知動圓過定點（1,0），且與直線相切.

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）設是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和,①當時，求證直線恒過一定點；

②若為定值，直線是否仍恒過一定點，若存在，試求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）①參考解析，②

【解析】

試題分析：（1）根據題意可假設拋物線方程為，由拋物線的定義可求得的值，從而可求得拋物線的方程.

（2）根據題意假設直線AB的方程，聯立拋物線的方程，消去y得到一個關于x的一元二次方程，由韋達定理得到A,B兩點坐標的等式.①由直線的垂直可得到A,B坐標的一個等式，從而可化簡直線AB的方程即可得到結論.②當為一個一般的定值時，需要分類討論，解決問題的方法類似于①小題，同樣是通過A,B的斜率關系得到一個等式，從而得到結論.

試題解析：(1)設動圓圓心M(x,y),

依題意點M的軌跡是以(1,0)為焦點,直線x=－1為準線的拋物線其方程為.

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).由題意得x1≠x2(否則)且x1x2≠0,則

所以直線AB的斜率存在,設直線AB的方程為y=kx+b,

則將y=kx+b與y2=4x聯立消去x,得ky2－4y+4b=0

由韋達定理得-------※

①當=時,所以,所以y1y2=16,又由※知:y1y2=所以b=4k;因此直線AB的方程可表示為y=kx+4k,所以直線AB恒過定點(－4,0).

②當為定值時.若=,由①知,

直線AB恒過定點M(－4,0)當時,由,得==

將※式代入上式整理化簡可得:,所以,此時,直線AB的方程可表示為y=kx+,所以直線AB恒過定點所以當時,直線AB恒過定點(－4,0).,

當時直線AB恒過定點

考點：1.拋物線的定義.2.直線與拋物線的位置關系.3.過定點的問題.