Question

已知動圓過定點（1，0），且與直線x=-1相切．
（1）求動圓的圓心軌跡C的方程；
（2）是否存在直線l，使l過點（0，1），并與軌跡C交于P，Q兩點，且滿足

OP

•

OQ

=0？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖，設M為動圓圓心，根據圓M與直線x=-1相切可得|MF|=|MN|，結合拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，從而解決問題；
（2）對“是否存在性”問題，先假設存在，設直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0），與拋物線方程聯立結合根的判別式求出k的范圍，再利用向量垂直求出k值，看它們之間是否矛盾，沒有矛盾就存在，否則不存在．

解答：解：（1）如圖，設M為動圓圓心，F（1，0），
過點M作直線x=-1的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|
即動點M到定點F與到定直線x=-1的距離相等，
由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，
其中F（1，0）為焦點，x=-1為準線，
∴動圓圓心的軌跡方程為y²=4x；
（2）由題可設直線l的方程為x=k（y-1）（k≠0）
由

x=k(y-1) y2=4x

得y²-4ky+4k=0；△=16k²-16k＞0?k＜0ork＞1
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則y₁+y₂=4k，y₁y₂=4k
由

OP

•

OQ

=0，即x₁x₂+y₁y₂=0?（k²+1）y₁y₂-k²（y₁+y₂）+k²=0，
解得k=-4或k=0（舍去），
∴直線l存在，其方程為x+4y-4=0．

點評：本小題主要考查曲線與方程，直線和拋物線等基礎知識，以及求解存在性問題的基本技能和綜合運用數學知識解決問題的能力．