Question

醫學上為研究某種傳染病傳播中病毒細胞的發展規律及其預防，將病毒細胞注入一只小白鼠體內進行實驗，經檢測，病毒細胞的增長數與天數的關系記錄如下表．已知該種病毒細胞在小白鼠體內的個數超過10⁸的時候小白鼠將死亡．但注射某種藥物，將可殺死其體內該病毒細胞的98%．
（Ⅰ） 為了使小白鼠在實驗過程中不死亡，第一次最遲應在何時注射該種藥物？（精確到天）
（Ⅱ）第二次最遲應在何時注射該種藥物，才能維持小白鼠的生命？（精確到天）
（參考數據：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

天數x	病毒細胞總數y
1	1
2	2
3	4
4	8
5	16
6	32
7	64
…	…

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意病毒細胞總數y關于時間x的函數關系式為y=2^x-1（其中x∈N^*），解不等式由2^x-1≤10⁸，即可求得結果；（Ⅱ）由題意注入藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞為2²⁶×2%，則再經過x天后小白鼠體內病毒細胞為2²⁶×2%×2^x，由題意解不等式2²⁶×2%×2^x≤10⁸，即可求得結果．
解答：解：（Ⅰ）由題意病毒細胞總數y關于時間x的函數關系式為y=2^x-1（其中x∈N^*），（3分）
則由2^x-1≤10⁸，兩邊取常用對數得（x-1）lg2≤8，從而（6分）
即第一次最遲應在第27天注射該種藥物．（7分）
（Ⅱ）由題意注入藥物后小白鼠體內剩余的病毒細胞為2²⁶×2%，（8分）
再經過x天后小白鼠體內病毒細胞為2²⁶×2%×2^x，（10分）
由題意2²⁶×2%×2^x≤10⁸，（11分）
兩邊取常用對數得26lg2+lg2-2+xlg2≤8，解得x≤6.2（13分）
故再經過6天必須注射藥物，即第二次應在第33天注射藥物．（14分）
點評：此題是個中檔題．函數的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數模型，轉化為求函數的最大（小）是最優化問題中，最常見的思路之一，同時考查學生的閱讀能力和計算能力．