Question

（2013•杭州一模）已知集合A={（x，y）|x（x-1）+y（y-1）≤r+

1

2

}，集合B={（x，y）|x²+y²≤r²}，若A?B，則實數r可以取的一個值是（　�。�

• A．

  2

  +1
• B．

  3

• C．2
• D．1+

  2

  2

Answer 1

分析：由r的取值范圍，化簡集合A可得：當r＜-1時集合A為空集；當r=-1時集合A={（

1

2

，

1

2

）}．當r＞-1時集合A表示以點C（

1

2

，

1

2

）為圓心、半徑為

r+1

的圓及其內部．而集合B在r=0時等于{（0，0）}；在r≠0時表示以原點O為圓心、半徑為|r|的圓及其內部．根據A?B可得A為空集、或者兩圓內含或內切，求出圓心間的距離建立關于r的不等式，將A、B、C、D中的r值代入加以檢驗即可得到答案．

解答：解：對于集合A，將方程x（x-1）+y（y-1）≤r+

1

2

化簡，得（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²≤r+1．
當r＜-1時，集合A表示空集；
當r=-1時，集合A表示單元素集合{（

1

2

，

1

2

）}；
當r＞-1時，集合A表示圓（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=r+1及其內部，圓心為C（

1

2

，

1

2

），半徑為

r+1

．
對于集合B={（x，y）|x²+y²≤r²}，當r=0時B={（0，0）}；
當r≠0時表示以原點O為圓心、半徑為|r|的圓及其內部，
∴根據A?B，可得A為空集或圓C在圓O內部，
因此r≤-1，或者圓（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²=r+1與圓x²+y²=r²內含或內切，即

( 1 2 )2+( 1 2 )2

≤|r|-

r+1

，
對照A、B、C、D各項，只有r=

2

+1滿足上述不等式．
故選：A．

點評：本題給出與圓方程有關的集合A、B，在滿足A?B的情況下求參數r的取值范圍．著重考查了圓的標準方程、兩點間的距離公式和圓與圓的位置關系等知識，考查了計算能力與分類討論的數學思想，屬于中檔題．