Question

已知數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，an=

Sn + Sn-1

2

．
（Ⅰ）證明數列{S_n}是一個等差數列；
（Ⅱ）求a_n．

Answer 1

分析：（1）由n=1時，可得S₁=a₁=1，n≥2時，利用a_n=S_n-S_n-1=（

Sn

+

sn-1

）（

Sn

-

sn-1

）=

sn + sn-1

2

可證得

sn

-

sn-1

=

1

2

，即可證明
（2）由（1）可求S_n=（

1+n

2

）²，利用n=1時 a₁=S₁，n＞1時a_n=S_n-S_n-1可求

解答：（1）證明：當n=1時，S₁=a₁=1 （2分）
當 n≥2時a_n=S_n-S_n-1=（ 

Sn

+

sn-1

）（

Sn

-

sn-1

）=

sn + sn-1

2

而 

sn

+

sn-1

≠0
∴

sn

-

sn-1

=

1

2

（4分）
∴數列 

sn

是一個等差數列 （6分）
（2）由（1）得 

sn

=

1+n

2

  S_n=（ 

1+n

2

）²
當n=1時 a₁=S₁當n＞1時（10分）
a_n=S_n-S_n-1=

2n+1

4

∴a_n=

1，n=1 2n+1 4 ，n≥2

（12分）

點評：本題主要考查了等差數列的定義在證明中的應用，數列的遞推公式a_n=

s1，n=1 sn-sn-1，n≥2

的應用是實現數列的和與項轉化的關鍵