Question

一摩托車手欲飛躍黃河，設計摩托車沿跑道飛出時前進方向與水平方向的仰角是12°，飛躍的水平距離是35 m，為了安全，摩托車在最高點與落地點的垂直落差約10 m，那么，騎手沿跑道飛出時的速度應為多少？（單位是 km/h，精確到個位）

(參考數據：sin12°=0.207 9,cos12°=0.978 1,tan12°=0.212 5)

Answer 1

剖析：本題的背景是物理中的運動學規律，摩托車離開跑道后的運動軌跡為拋物線，它是由水平方向的勻速直線運動與豎直方向上的上拋運動合成的，它們運行的位移都是時間t的函數，故應引入時間t，通過速度v的矢量分解來尋找解決問題的途徑.

解： 摩托車飛離跑道后，不考慮空氣阻力，其運動軌跡是拋物線，軌跡方程是

   

    其中v是摩托車飛離跑道時的速度，t是飛行時間，x是水平飛行距離，y是相對于起始點的垂直高度，將軌跡方程改寫為

    y=-×9.8x²+tan12°·x,

    即y=-5.121 9+0.212 5x.

    當x≈0.020 7v²時，

    取得y_max≈0.002 2v².

    當x=35時，y_落=-6 274.327 5+7.437 5.

   ∵y_max-y_落=10,

    0.002 2v²+6 274.327 5-17.437 5=0,

    解得v≈19.44 m/s或v≈86.88 m/s.

    若v≈86.88 m/s,則x=156.246 m，與題目不符，

    而v≈19.44 m/s,符合題意，為所求解.

    故v≈19.44 m/s=69.984 km/h≈70 km/h.

    答：騎手沿跑道飛出時的速度應為70 km/h.

講評：本題直接構造y是x的函數解析式很困難，應引入適當的參數（時間t）作媒介，再研究x與y是怎樣隨參數變化而變化的，問題往往就容易解決了.這種輔助變量的引入要具體問題具體分析，以解題的簡捷為原則.