Question

已知f(x)=

2x

4x+1

，x∈（0，1）；
（Ⅰ）試判斷并證明f（x）的單調性；
（Ⅱ）若方程f（x）+f（-x）=λ有實數根，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）用單調性定義判定并證明f（x）是減函數；
（Ⅱ）由f（x）的單調性與奇偶性，把方程f（x）+f（-x）=λ轉化為不等式，從而求出λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）f（x）是定義域上的減函數，證明如下：
設0＜x₁＜x₂＜1，
則f(

x

1

)-f(

x

2

)=

2x1

4x2+1

-

2x2

4x2+1

=

2x1(4x2+1)-2x2(4x1+1)

(4x2+1)(4x2+1)

=

(2x1+x2-1)(2x2-2x1)

(4x2+1)(4x2+1)

；
∵2x1+x2＞1，2x2＜2x1∴f(x1)＜f(x2)；
∴f（x）是減函數．
（Ⅱ）∵f（x）在x∈（0，1）上單調遞減，
∴f（1）＜f（x）＜f（0），
即 

2

5

＜f(x)＜

1

2

；
∵f（-x）=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

=f(x)，
∴λ=f（x）+f（-x）=2f（x），
∴即當x∈（0，1）時，

4

5

＜λ＜1；
∴λ的取值范圍是{λ|

4

5

＜λ＜1}．

點評：本題考查了函數的單調性與奇偶性的判定和應用問題，是易錯題目．