Question

已知f(x)=x⁵+2x⁴+3x³+4x²+5x+6,用秦九韶算法求這個多項式當ｘ=２時的值時,做了幾次乘法?幾次加法?

Answer 1

探究過程:錯解:根據秦九韶算法,把多項式改寫成如下的形式:f(x)=((((x+2)x+3)x+4)x+5)x+6.按照從內到外的順序,依次計算多項式當ｘ=２時的值:

v₁=2+2=4;v₂=2v₁+3=11;v₃=2v₂+4=26;v₄=2v₃+5=57;v₅=2v₄+6=120.

顯然在v₁中未作乘法,只做了一次加法,在v₂、v₃、v₄中各做了一次加法、一次乘法.因此,共做了四次乘法、五次加法.

    探究結論:這是人所共知的“事實”,一點都不假;但我們面對的是計算機,它沒有我們這么靈活,在v₁中雖然“v₁=2+2=4”,而計算機還是做了一次乘法“v₁=2+2=4”;這是因為用秦九韶算法計算多項式f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀當x=x₀時的值時,首先將多項式改寫成f(x)=( …(a_nx+a_n-1)x+…+a_n-(k-1)x+a_n-k(k=1,2,…,n),然后再計算v₁=a_nx+a_n-1,v₂=v₁x+a_n-2,v₃=v₂x+a_n-3,…,v_n=v_n-1x+a₀,無論a_n是不是１,這次乘法都是非算不可的,因此本題的答案為:五次乘法,五次加法.