Question

求函數y=log2(2x+1)•log2(2x-1+

1

2

)的值域并分析其單調性．

Answer 1

分析：由已知中函數y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+

1

2

）的解析式是一個較復雜的對數式，我們可以用換元法將函數的解析式簡化，令log₂（2^x+1）=t將可將函數的解析式為化二次函數，結合中間元t＞0，結合二次函數的圖象和性質，即可得到函數的值域，進而根據指數函數的單調性，對數函數的單調性，二次函數的單調性及復合函數的單調性的確定方法，即可判斷出其單調性．

解答：解：y=log₂（2^x+1）•log₂（2^x-1+

1

2

）
令log₂（2^x+1）=t
則y=t（t-1）=（t-

1

2

）²-

1

4

，t＞0
所以原函數值域為[-

1

4

，+∞）
∵y=t（t-1）在[

1

2

，+∞）上是增函數
由t≥

1

2

即log2(2x+1)≥

1

2

得2x+1≥

2

解得x≥log2(

2

-1）
又t=log₂（2^x+1）為增函數
所以原函數在[log₂（

2

-1）上為增函數，
同理可得原函數在（-∞，log₂（

2

-1）]上為減函數

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象與性質的綜合應用，函數的值域，函數的單調性，其中利用換元法，將已知中復雜的函數解析式，進行化簡，是解答本題的關鍵．但換元時一定要注意中間元的取值范圍，以免出現錯誤．