Question

求函數y=log2(x2+2x+3)的定義域、單調區間和值域．

Answer 1

分析：令t=x²+2x+3＞0，求得x的范圍，可得函數y的定義域．
根據復合函數的單調性，函數y的增區間即函數t在R上的增區間，函數y的減區間即函數t在R上的減區間．再利用二次函數的性質可得函數t的增區間和減區間．
利用二次函數的性質求得二次函數t的值域，可得y=log₂t 的值域．

解答：解：令t=x²+2x+3＞0，求得x∈R，故函數y的定義域為R．
根據復合函數的單調性，函數y的增區間即函數t=x²+2x+3在R上的增區間，
函數y的減區間即函數t=x²+2x+3在R上的減區間．
利用二次函數的性質可得函數t的增區間（-∞，-1），減區間（-1，+∞），
故函數y的增區間（-∞，-1），減區間（-1，+∞）．
再由t=（x+1）²+2≥2，可得y=log₂t≥1，故函數y的值域[1，+∞）．

點評：本題主要考查函數的定義域和值域的求法，復合函數的單調性，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．