Question

如圖，G是△OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、Q三點共線．
（1）設

PG

=λ

PQ

，將

OG

用λ、

OP

、

OQ

表示；
（2）設

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，證明：

1

x

+

1

y

是定值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的減法法則，將

PG

=

OG

-

OP

和

PQ

=

OQ

-

OP

代入已知等式，化簡整理即可得到用λ、

OP

、

OQ

表示

OG

的式子；
（2）根據G是△OAB的重心，算出

OG

=

1

3

（

OA

+

OB

），結合（1）中得出的式子和平面向量基本定理，得到

1

x

、

1

y

關于λ的表達式，從而得到

1

x

+

1

y

=3是定值．

解答：解：（1）∵

PG

=

OG

-

OP

，

PQ

=

OQ

-

OP

∴

PG

=λ

PQ

，即

OG

-

OP

=λ（

OQ

-

OP

）
整理，得

OG

=（1-λ）

OP

+λ

OQ

（2）∵G是△OAB的重心，
∴

OG

=

2

3

OM

=

2

3

×

1

2

（

OA

+

OB

）=

1

3

（

OA

+

OB

）
∵

OP

=x

OA

，

OQ

=y

OB

，

OG

=（1-λ）

OP

+λ

OQ

∴

OG

=（1-λ）x

OA

+λy

OB

因此，得到

(1-λ)x= 1 3 λy= 1 3

，可得

3(1-λ)= 1 x 3λ= 1 y

，
∴

1

x

+

1

y

=3（1-λ）+3λ=3，即

1

x

+

1

y

=3（定值）．

點評：本題給出三角形OAB的重心G，求用λ、

OP

、

OQ

表示

OG

的式子并證明一個式子等于常數．著重考查了向量的減法法則、平面向量基本定理和向量在幾何中的應用等知識，屬于中檔題．