Question

如圖，G是△OAB的重心，P、Q分別是邊OA、OB上的動點，且P、G、Q三點共線．
（1）設，將用λ、、表示；
（2）設，，證明：是定值；
（3）記△OAB與△OPQ的面積分別為S、T．求的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）尋找包含的圖形△OPG，利用向量的加法法則知，在根據和即可
（2）根據（1）結合，知：在根據G是△OAB的重心知：，最后根據、不共線得到關于x，y，λ的方程組即可求解
（3）根據三角形面積計算公式，知=xy，由點P、Q的定義知，，
且時，y=1；x=1時，．此時，均有．時，．此時，均有．得到的范圍為在根據（2）知進行作差證明即可
解答：解：（1）=
（2）一方面，由（1），得；①
另一方面，∵G是△OAB的重心，
∴．②
而、不共線，∴由①、②，
得
解之，得，
∴（定值）．
（3）．
由點P、Q的定義知，，
且時，y=1；x=1時，．
此時，均有．時，．
此時，均有．
以下證明：．
由（2）知，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴的取值范圍．
點評：本題考查了向量的加減法，三角形的面積公式，作差法證明不等式，屬于基礎題．