Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=

1

2

PA，點O，D分別是AC，PC的中點，OP⊥底面ABC．
（1）求證：OD∥平面PAB；
（2）求直線OD與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根據三角形中位線定理可得OD∥PA，再由線面平行的判定定理得到OD∥平面PAB；
（2）以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，求出平面PBC的法向量和直線OD的方向向量，代入向量夾角公式，可得直線OD與平面PBC所成角的正弦值

解答：證明：（1）∵點O，D分別是AC，PC的中點，
∴OD∥PA
又∵OD?平面PAB，PA?平面PAB
∴OD∥平面PAB；
（2）連接OB，
∵AB=BC，點O是AC的中點，
∴OB⊥AC
又∵OP⊥底面ABC．
故可以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系
令AB=BC=

1

2

PA=1，AB⊥BC，
則OA=OB=OC=

2

2

，OP=

14

2

則O（0，0，0），B（

2

2

，0，0），C（0，

2

2

，0），P（0，0，

14

2

），D（0，

2

4

，

14

4

）
∴

OD

=（0，

2

4

，

14

4

），

BC

=（-

2

2

，

2

2

，0），

PC

=（0，

2

2

，-

14

2

）
設

m

=（x，y，z）是平面PBC的一個法向量
則

m • BC =0 m • PC =0

，即

- 2 2 x+ 2 2 y=0 2 2 y- 14 2 z=0

令z=1，則

m

=（

7

，

7

，1）
直線OD與平面PBC所成角θ滿足：
sinθ=

| m • OD |

| m |•| OD |

=

210

30

故直線OD與平面PBC所成角的正弦值為

210

30

點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，二面角的求法，熟練掌握空間線面關系判定的方法和步驟是解答（1）的關鍵．建立空間坐標系將二面角問題轉化為向量夾角問題是解答（2）的關鍵．