Question

設橢圓M：的離心率為，點A（a，0），B（0，-b），原點O到直線AB的距離為．
（I）求橢圓M的方程；
（Ⅱ）設點C為（-a，0），點P在橢圓M上（與A、C均不重合），點E在直線PC上，若直線PA的方程為y=kx-4，且，試求直線BE的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由=，得a=b，由點A（a，0），B（0，-b），知直線AB的方程為，由此能求出橢圓M的方程．
（Ⅱ）由A、B的坐標依次為（2，0）、（0，-），直線PA經過點A（2，0），即得直線PA的方程為y=2x-4，因為，所以，由此能求出直線BE的方程．
解答：解：（I）由==1-=，
得a=b，
由點A（a，0），B（0，-b），
知直線AB的方程為，
于是可得直線AB的方程為x-y-b=0，
因此==，
解得b=，b²=2，a²=4，
∴橢圓M的方程為．
（Ⅱ）由（I）知A、B的坐標依次為（2，0）、（0，-），
∵直線PA經過點A（2，0），
∴0=2k-4，得k=2，
即得直線PA的方程為y=2x-4，
因為，
所以k_CP•k_BE=-1，即，
設P的坐標為（x，y），
由
，得P（），
則，∴k_BE=4，
又點B的坐標為（0，-），
因此直線BE的方程為y=4x-．
點評：本題考查橢圓方程和直線方程的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．