Question

棱長為2的正方體A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E、F分別是C₁C和D₁A₁的中點，

（1）求異面直線與所成的角的余弦值；

（2）求點A到EF的距離．

Answer 1

（1）異面直線與所成的角的余弦值為；（2）A到EF的距離為．

解析:

（1）如圖，以D為原點，DA、DC、DD₁分別為x軸、

y軸、z軸建立空間直角坐標系，則由已知得

A（2，0，0），B（2，2，0），E（0，2，1），F(xiàn)（1，0，2）；

∴=（0，2，0），=（1，，1），=（1，0，），

∴ ||=2，||=，=；

= , =，

∴與夾角的余弦值為cos==．

∵異面直線所成角的范圍是，向量的夾角范圍是；

∴異面直線與所成的角的余弦值為．

（2）由（1）得=，||=；

∴在方向上的射影為=，

∴A到EF的距離為．