Question

（本題滿分15分）已知定義在上的函數，其中為常數。

 （1）若是函數的一個極值點，求的值； （2）若函數在區間上是增函數，求實數的取值范圍； （3）若，在處取得最大值，求實數的取值范圍。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

（1），（1分）

因為是的一個極值點，所以，所以；（3分）

（2）①當時，在區間上是增函數，所以符合題意，（5分）

 ② 當時，，令得：。

當時，對任意，所以符合題意；

當時，時，，所以，

所以符合題意。  （8分）

綜上所述得的取值范圍為：                                （9分）

（3）。                    

  ，               （11分）

令，即，（*）顯然

設方程（*）的兩個根分別為，由（*）式得，

不妨設。

當時，為極小值，

所以在上的最大值只能是或；

當時，由于在上是遞減函數，所以最大值為

所以在上的最大值只能是或；                  （14分）

由已知得在處取得最大值，所以；

即，解得，

又因為，所以的取值范圍為。                      （15分）