Question

 （本小題滿分12分）已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分別是AC，AD上的動點，且＝＝λ(0＜λ＜1)．

（1）求證：不論λ為何值，總有平面BEF⊥平面ABC；

（2）當λ為何值時？平面BEF⊥平面ACD. 

 

Answer 1

【答案】

(1)證明：見解析；(2)當 λ＝時，平面BEF⊥平面ACD．

【解析】本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，其中在（2）中，構造適當的空間坐標系，然后結合向量法求二面角的方法，構造一個關于λ的方程，是解答本題的關鍵．

1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我們易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分別是AC、AD上的動點，故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．

（2）過點C作CZ∥AB，以C為原點，建立空間直角坐標系C-xyz．分別求出各頂點的坐標，并根據ABCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，分別求出平面BEF的法向量和平面BCD的法向量，然后根據平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°，代入向量夾角公式，構造一個關于λ的方程，解方程即可得到平面BEF與平面BCD所成的二面角的大小為60°時λ的值．

(1)證明：∵ AB⊥平面BCD，∴ AB⊥CD．

∵ CD⊥BC，且AB∩BC＝B，∴ CD⊥平面ABC．

又＝＝λ(0＜λ＜1)，

∴ 不論λ為何值，恒有EF∥CD， ∴ EF⊥平面ABC．

∵ EF 平面BEF，  ∴不論λ為何值總有平面BEF⊥平面ABC． ----------------6分

(2)解：由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，∴ BE⊥平面ACD．

∴ BE⊥AC．∵ BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴ BD＝，AB＝，

AC＝．由△ABC∽△AEB，有AB²＝AE·AC，從而AE＝．∴ ＝＝．

故當 λ＝時，平面BEF⊥平面ACD．-----------------------12分