Question

（1）試用ε-δ語言敘述“函數f（x）在點x=x₀處連續的定義；
（2）試證明：若f（x）在點x=x₀處連續，且f（x₀）＞0，則存在一個x₀的（x₀-δ，x₀+δ），在這個鄰域內，處處有f（x）＞0．

Answer 1

（1）若對于任給的正數ε，總存在某一正數δ，使得當|x-x₀|＜δ時，
總有|f（x）-f（x₀）|＜ε，則稱函數f（x）在點x₀處連續；
（2）證：由已知f（x）在點x=x₀處連續，
且f（x₀）＞0，
所以，由定義，對于給定的ε=

f(x0)

2

＞0，
必存在δ＞0，當|x-x₀|＜δ時，
有|f（x）-f（x₀）|＜

f(x0)

2

，
從而f（x）＞f（x₀）-

f(x0)

2

=

f(x0)

2

＞0
即在（x₀-δ，x₀+δ）內處處有f（x）＞0．