Question

設F₁、F₂分別是橢圓+y²=1的左、右焦點.

(1)若P是該橢圓上的一個動點,求·的最大值和最小值;

(2)設過定點M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由已知得a=2,b=1,c=,

∴F₁(-,0),F₂(,0).

設P(x,y),則

·=(--x,-y)·(3-x,-y)

=x²+y²-3

=x²+(1)-3=(3x²-8).

∵x∈［-2,2］,

∴當x=0時,即點P為橢圓短軸端點時,·有最小值-2;

當x=±2時,即點P在橢圓長軸端點時,·有最大值1.

(2)顯然直線x=0不滿足題意,故設l:y=kx+2,

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),

由(k²+)x²+4kx+3=0.

∴x₁+x₂= ,x₁x₂=.

由Δ=(4k)²-4(k²+)×3=4k²-3＞0,

得k＜或k＞.① 

又∠AOB為銳角cos∠AOB＞0·＞0,

即·=x₁x₂+y₁y₂＞0.

而y₁y₂=(kx₁+2)(kx₂+2)=k²x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4

=+4=.

∴x₁x₂+y₁y₂=…=＞0.

∴4-k²＞0,即-2＜k＜2.② 

由①②得k的取值范圍為(-2,)∪(,2).