Question

已知

a

=(sinα，sinβ)，

b

=(cos(α-β)，-1)，

c

=(cos(α+β)，2)，α，β≠kπ+

π

2

(k∈Z)．
（1）若

b

∥

c

，求tanα•tanβ的值；
（2）求

a

2+

b

•

c

的值．

Answer 1

分析：（1）由

b

∥

c

，以及兩向量的坐標，利用平面向量平行時坐標滿足的關系列出關系式，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后根據α，β的取值，利用同角三角函數間的基本關系弦化切即可求出tanα•tanβ的值；
（2）先根據三向量的坐標，利用平面向量模的計算方法及平面向量的數量積運算法則化簡所求的式子，利用兩角和與差的余弦函數公式及平方差公式化簡后，再利用同角三角函數間的平方關系化簡，可得出所求式子的值．

解答：解：（1）∵

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），且

b

∥

c

，
∴2cos（α-β）+cos（α+β）=0，即2（cosαcosβ+sinαsinβ）+cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∴3cosαcosβ+sinαsinβ=0，又α，β≠kπ+

π

2

（k∈Z），
∴tanα•tanβ=-3；
（2）∵

a

=（sinα，sinβ），

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），
∴

a

2+

b

•

c

=sin²α+sin²β+cos（α-β）cos（α+β）-2
=sin²α+sin²β+cos²αcos²β-sin²αsin²β-2
=sin²α+（1-sin²α）sin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²αsin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²α（sin²β+cos²β）-2
=sin²α+cos²α+2
=1-2
=-1．

點評：此題考查了同角三角函數間的基本關系，兩角和與差的余弦函數公式，平面向量的數量積運算法則，以及平面向量共線（平行）的坐標表示，熟練掌握公式及基本關系是解本題的關鍵．